VECTOR

Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatuangka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisisyang tidak cukup hanya dinyatakan dengan besarnya saja, tetapi harus jugadiberikan penjelasan tentang arahnya.Besaran vektor :Besaran yang dicirikan oleh besar dan arahContoh besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan, gaya,perpindahan, momentum dan lain-lain. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.Besaran skalar :Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besarnya dinyatakanoleh bilangan dan satuan)Contoh besaran skalar : waktu, suhu, volume, laju, energi, usaha dll. Tidak diperlukan sistem koordinat dalam besaran skalar2.2. Penggambaran, penulisan (Notasi) vektor Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiridari pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anakpanah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.Pada gambar (2.1) digambar vektor dengan titik pangkalnya P, titik ujungnyaQ serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang.PQGambar 2.1 : Gambar sebuah vektor PQTitik P : Titik Pangkal (titik tangkap)Titik Q : UjungPanjang PQ: Nilai (besarnya) vektor tersebut = PQ.

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 14Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil,biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah diatasnya atau huruf miring.Contoh :Vektor A→ (Berhuruf tebal)Vektor A→ (Huruf dengan tanda panah di atasnya)Vektor A→ (Huruf miring)Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa ataudengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut.Contoh : Vektor A. Nilai vektor A ditulis dengan A atau AAda beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor.1. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai bila besar dan arahsama. 2. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika :a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arahb. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah samac. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbedaUntuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:ADC EBGambar 2.2 : Gambar beberapa buah vektorBesar (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C lebih kecildari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa:A = C artinya: nilai dan arah kedua vektor samaA = - B artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawananVektor A tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi arahnya berbeda)Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda).

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 152.3. Penjumlahan dan pengurangan vektorMencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuahvektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan(dikurangkan)Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu:1. Metode jajaran genjang2. Metode segitiga3. Metode poligon (segi banyak)4. Metode uraian 2.3.1 Metode Jajaran GenjangCara menggambarkan vektor resultan dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut.AAR=A+BBBGambar 2.3 : Resultan vektor A + B, dengan metode jajaran genjangLangkah-langkah :a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpitb. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagaisisi-sisinyac. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal darijajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titikpangkal kedua vektor tersebutBesarnya vektor : R = R =θcos222ABBAR++=2.1θ adalah sudut yang dibentuk oleh vektor A dan BCatatan :1. Jika vektor A dan B searah, berarti α = 0° : R = A + B2. Jika vektor A dan B berlawanan arah, berarti α = 180° : R = A - B3. Jika vektor A dan B saling tegak lurus, berarti α = 90° : R = 0Untuk pengurangan (selisih) vektor R = A – B, maka caranya sama saja,hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 162.3.2 Metode SegitigaBila ada dua buah vektor A dan B akan dijumlahkan dengan carasegitiga maka tahap-tahap yang harus dilakukan adalahAR=A+BBGambar 2.4 : Resultan vektor A + B, dengan metode segitigaLangkah-langkah :1. Gambarkan vektor A2. Gambarkan vektor B dengan cara meletakkan pangkal vektor B padaujung vektor A3. Tariklah garis dari pangkal vektor A ke ujung vektor B4. Vektor resultan merupakan vektor yang mempunyai pangkal di vektorA dan mempunyai ujung di vektor BJika ditanyakan R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor Bdigambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui2.3.3 Metode poligonPada metode ini, tahapannya sama dengan metode segitiga, hanya sajametode ini untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor.Contoh :Jumlahkan ketiga buah vektor A, B, dan C dengan metoda PoligonA BCJawab: Resultan ketiga vektor R adalah R = A + B + CCRBAGambar 2.5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon.

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 172.3.4 Metode UraianSetiap vektor yang akan dijumlahkan (dikurangkan diuraikan terhadapkomponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y )Y AxAθ AyXGambar 2.5. Komponen – komponen sebuah vektorKomponen vektor A terhadap sumbu X : Ax = A cos θKomponen vektor A terhadap sumbu Y : Ay = A sin θVektorKomponen XKomponen YABCAXBXCXAYBYCYR = A + B + CRX = AX + BX + CXRY = AY + BY + CYBesar vektor R :22YXRRR+=2.2Arah vektor R terhadadap sunbu X positif :XYRRtg =θ2.3Catatan :Jika vektor A dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka, secaramatematis vektor A dapat ditulis dengan A = i Ax + j AyYang merupakan penjumlahan kedua komponen-komponennyaAtau A = Ax + AyNilai vektor A : A =22YXAA +2.4 Page 6
VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 18Contoh : 1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut : XCBA DYEBesar dan arah vektor pada gambar diatas :Vektor Besar (m)Arah(0)ABCDE1915161122045135207270Hitung : Besar dan arah vektor resultan.Jawab : Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)ABCDE19151611220451352072701910.6-11.3-9.80010.611.3-5-22RX =8.5RY =-5.1Besar vektor R :R =22YXRR +=22)1.5(5.8 −+= 01.94 = 9.67 mArah vektor R terhadap sumbu x positif :tg θ =5.81.5−= - 0,6θ = 329.030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam )

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 192.4 Perkalian Vektor Untuk operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam operasi yaitu :1. Perkalian skalar dengan vektor2. Perkalian vektor dengan vektor.a. Perkalian titik (dot product) b. Perkalian silang (cross product) 2.4.1 Perkalian skalar dengan vektorSebuah besaran skalar dengan nilai sebesar k, dapat dikalikan dengansebuah vektor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya samadengan nilai k dikali nilai A. Jika nilai k positif, maka arah C searah dengan Adan jika nilai k bertanda negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A.Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut:C = k A2.52.4.2 Perkalian vektor dengan vektorAda dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor. Pertama disebutperkalian titik (dot product) yang menghsilkan besaran skalar dan keduadisebut perkalian silang (cross product) yang menghasilkan besaran vektor.2.4.2.1 Perkalian titik (dot Product)Perkalian titik (dot product) antara dua buah vektor A dan B menghasilkan C,didefinisikan secara matematis sebagai berikut:A • B = CAA dan B vektor C besaran skalarBesar C didefinisikan sebagai : C = A . B cos θ2.6A = A = besar vektor AB = B = besar vektor Bθ = sudut antara vektor A dan BBθ.

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 20Sifat-sifat perkalian titik : 1. bersifat komutatif : A • B = B • A2. bersifat distributif : A • (B+C) = A • B + A • C3. jika A dan B saling tegak lurus maka : A • B = 04. jika A dan B searah : A • B = A.B5. jika A dan B berlawanan arah maka : A • B = - A.BContoh:Usaha (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan benda sejauh sdidefinisikan sebagai W = F • s.Jika besar gaya F = 5 N, perpindahan s = 40 m dan gaya F membentuk sudut60°, maka hitung besar usaha W.Jawab:W = F • sW = Fs cos θW = 2 N . 40 m cos 60° = 5 N . 40 m. 0,5W = 100 N m = 100 Joule2.4.2.2. Perkalian silang (cross product)Perkalian silang (cross product) antara dua buah vektor A dan B akanmenghasilkan C, didefinisikan sebagai berikut:A x B = C2.7Gambar 2.6. Perkalian vektorA, B, dan C vektorNilai C didefinisikan sebagaiC = A . B sin θ2.8.

VEKTORFISIKA MEKANIKA , Jonifan, Iin Lidya, Yasman 21A = A = besar vektor AB = B = besar vektor Bθ = sudut antara vektor A dan BArah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor A keB melalui sudut θ dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturantangan kanan..Sifat-sifat perkalian silang (cross Product). 1. bersifat anti komutatif : A x B = - B x A2. jika A dan B saling tegak lurus maka : A x B = A.B3. jika A dan B searah atau berlawanan arah : A x B = 02.5 Vektor SatuanVektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satusatuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak)tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu Z, vektor satuan padasumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu zadalah k. Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan.ZkjYiXGambar 2.7 : vektor satuanSifat-sifat perkalian titik vektor satuani . i = j . j = k . k = 1i . j = j . k = i . k = 0.

VEKTORFISIKA MEKANIKA, Jonifan, Iin Lidya, Yasman 22Sifat-sifat perkalian silang vektor satuani x I = j x j = k x k = 0i x j = k j x i = - kk x I = j i x k = - jj x k = ik x j = - i Penulisan suatu vektor A dalam koordinat katesian bedasarkan komponen-komponennya adalah : A = Ax i + Ay j + Az k 2.9Dimana Ax , Ay dan Az adalah komponen A arah sumbu X, Y dan ZContoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor A dan B . 1. Pekalian titik.A . B = (Ax i + Ay j + Az k) . ( Ax i + Ay j + Az k )= AxBx i.i + AxBy i.j + AxBz i.k + AyBx j.i + AyBy j.j + AyBz j.k +AzBx k.i + AzBy k.j + AzBz k.k A . B = AxBx + AyBy + AzBz2.302. Perkalian silang.A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x ( Ax i + Ay j + Az k )= AxBx ixi + AxBy ixj + AxBz ixk + AyBx jxi + AyBy jxj + AyBzjxk +AzBx kxi + AzBy kxj + AzBz kxk = AxBy k - AxBz j - AyBx k + AyBz i + AzBx j - AzBy IA x B = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx )j + (AxBy – AyBx)k 2.31Salah satu cara untuk menyelesaikan perkalian silang adalah dengan metodedeterminan :BzByBxAzAyAxkjiAxB =2.32 .